L’essentiel
- La formule de Kelly calcule une fraction de bankroll à partir d’une cote et d’une probabilité estimée.
- Elle ne donne un résultat pertinent que si cette probabilité est suffisamment fiable.
- Le Kelly fractionné réduit la mise calculée, mais ne corrige pas une estimation erronée.
- Une mise fixe est plus simple à budgéter, même si sa part de bankroll varie avec le solde.
Le critère de Kelly est une formule qui indique quelle fraction d’une bankroll miser selon la cote et la probabilité estimée d’un résultat. Son intérêt dépend entièrement de la qualité de cette estimation : une erreur peut conduire à miser trop gros, même si le calcul est exact. Voici comment lire la formule, avec un exemple, et pourquoi une mise fixe peut être plus simple à gérer.
Le principe du critère de Kelly
La bankroll désigne la somme réservée au jeu, sans inclure l’argent nécessaire aux dépenses courantes. Le critère de Kelly, aussi appelé mise Kelly, cherche à déterminer quelle part de cette bankroll engager sur un pari. Il ne prédit pas l’issue d’un match et ne transforme pas un pari risqué en pari sûr.
La formule vise à maximiser la croissance logarithmique du capital sur une suite de paris. En termes simples, elle tient compte de l’effet cumulatif des gains et des pertes sur le solde. Elle ne cherche pas à maximiser le gain possible sur un pari isolé, ni à garantir un bénéfice.
Cette méthode suppose notamment que la probabilité utilisée est bien estimée et que les cotes et les paris disponibles sont connus. Elle sert donc surtout à illustrer le lien entre avantage estimé et niveau de mise. Avant de l’appliquer, il faut aussi savoir distinguer la cote affichée de la probabilité qu’elle implique, expliquée dans notre guide sur la probabilité implicite et la cote juste.
La formule et ses variables
Pour un pari simple où une victoire rapporte la cote décimale et une défaite fait perdre la mise, la formule est : f = (b × p - q) / b*.
- f* est la fraction de bankroll calculée par Kelly.
- b est le bénéfice net pour une unité misée en cas de victoire, soit la cote décimale moins 1.
- p est la probabilité estimée de gagner, écrite sous forme décimale.
- q est la probabilité estimée de perdre, soit 1 - p.
Par exemple, une probabilité de 52 % s’écrit p = 0,52, et la probabilité de perdre devient q = 0,48. À une cote de 2,10, le gain net potentiel est 1,10 € par euro misé, donc b = 1,10. Le retour total affiché comprend la mise initiale, mais la formule utilise le bénéfice net.
| Élément | Calcul ou définition | Exemple à 2,10 et p = 0,52 |
|---|---|---|
| Cote décimale | Retour total par euro misé si le pari gagne | 2,10 |
| Gain net b | Cote moins 1 | 1,10 |
| Probabilité de gagner p | Estimation de la chance de gagner | 0,52 |
| Probabilité de perdre q | 1 moins p | 0,48 |
| Fraction Kelly f* | (b × p - q) / b | 0,0836, soit 8,36 % |
Si le résultat de la formule est nul ou négatif, Kelly n’indique pas de mise positive. Cela ne signifie pas qu’une autre estimation suffira à rendre le pari intéressant. Un value bet, c’est-à-dire un pari dont la cote paraît supérieure à ce que justifierait la probabilité réelle, dépend lui aussi d’une évaluation crédible, comme le détaille le guide du value bet.
Exemple chiffré avec une cote de 2,10
Supposons que vous évaluiez à 52 % la probabilité de gagner un pari coté à 2,10. La formule donne : f = (1,10 × 0,52 - 0,48) / 1,10 = 0,0836*, soit environ 8,36 % de la bankroll.
Avec une bankroll illustrative de 100 €, la mise Kelly complète serait donc d’environ 8,36 €. Si le pari gagne, le bénéfice net serait de 9,20 € environ, car 8,36 × 1,10 = 9,196. Si le pari perd, les 8,36 € engagés sont perdus. Ces montants illustrent le calcul, ils ne constituent pas une recommandation de mise.
Le résultat paraît élevé parce que l’exemple suppose un avantage important et une probabilité bien connue. À la cote de 2,10, le seuil de rentabilité théorique d’un pari sans remboursement est de 1 / 2,10, soit environ 47,62 %. L’estimation de 52 % dépasse ce seuil. Mais quelques points d’écart entre une estimation et la probabilité réelle peuvent modifier fortement le calcul.
Pour un pari qui peut être remboursé, ou dont le règlement prévoit plusieurs issues, cette version simple ne suffit pas forcément. Il faut adapter le calcul aux différents résultats et à leurs paiements. Les paris ne se résument pas toujours à une victoire ou à une perte.
Pourquoi l’estimation de probabilité est le point sensible
Kelly ne fournit pas lui-même la probabilité p. C’est au parieur de l’estimer, par exemple à partir de données, d’un modèle ou d’une analyse. Or les performances passées, les statistiques et l’impression laissée par un match ne permettent pas de connaître avec certitude la probabilité réelle d’un résultat. Les informations disponibles peuvent être incomplètes, et l’estimation comporte toujours une part d’incertitude.
Reprenons la cote de 2,10. Si la probabilité réelle était plutôt de 45 %, le gain moyen théorique par euro misé serait négatif : 0,45 × 1,10 - 0,55 = -0,055 €, soit -5,5 centimes par euro engagé en moyenne. Pourtant, en utilisant l’estimation erronée de 52 %, la formule calculerait toujours une mise Kelly de 8,36 % de la bankroll.
La différence entre estimation et réalité est difficile à repérer après quelques paris, car une série de gains ou de pertes ne suffit pas à prouver qu’un modèle est bon ou mauvais. Pour examiner ses résultats avec méthode, un suivi des mises, des cotes et des règlements peut aider, sans supprimer l’incertitude. Le guide pour suivre ses paris avec le ROI et le yield explique ces indicateurs.
Kelly fractionné : réduire la mise calculée
Le Kelly fractionné consiste à miser une partie seulement du résultat de Kelly. Avec un demi-Kelly, on divise la fraction calculée par deux. Dans l’exemple précédent, cela donne environ 4,18 % de bankroll, soit 4,18 € sur une bankroll de 100 €. Avec un quart-Kelly, la mise théorique serait d’environ 2,09 € sur 100 €.
Réduire la fraction diminue l’exposition par pari et rend le calcul moins sensible à une petite erreur d’estimation. En revanche, cela ne transforme pas une estimation fausse en estimation correcte. Si le pari présente en réalité une espérance négative, une mise fractionnée peut toujours entraîner des pertes, seulement avec une exposition plus faible.
La mise calculée en pourcentage se rapporte au solde actuel, pas nécessairement à la bankroll de départ. Elle baisse après des pertes et augmente après des gains. Les montants peuvent aussi être difficiles à appliquer tels quels en pratique, notamment si la mise minimale ou les arrondis diffèrent selon l’opérateur. Un calculateur peut effectuer l’opération arithmétique, mais pas certifier la probabilité saisie : le calculateur de mise Kelly doit être lu avec cette réserve.
Mise Kelly ou mise fixe : deux logiques différentes
Une mise fixe consiste à engager le même montant à chaque pari, dans les limites d’un budget défini. Une mise Kelly varie en fonction du solde et de la fraction calculée. Une autre méthode consiste à miser un pourcentage fixe de la bankroll, sans recalculer ce pourcentage selon l’avantage estimé.
| Méthode | Ce qui détermine la mise | Point de vigilance |
|---|---|---|
| Mise fixe | Un montant décidé à l’avance | Le même montant représente une part plus grande du solde si celui-ci baisse. |
| Pourcentage fixe | Une proportion constante du solde actuel | Le montant évolue avec la bankroll, mais ne dépend pas d’une estimation de probabilité pour chaque pari. |
| Kelly complet | La cote et l’avantage estimé, selon la formule | Très sensible à l’erreur de probabilité et parfois exigeant en fluctuations. |
| Kelly fractionné | Une fraction du résultat de Kelly | Réduit l’exposition calculée, sans garantir que l’estimation soit juste. |
La mise fixe est souvent plus facile à suivre dans un budget : le montant par pari ne change pas en fonction d’une estimation de probabilité. Elle n’est pas sans risque pour autant. Si la bankroll diminue et que le montant reste identique, chaque pari pèse davantage dans le solde restant. Les principes de gestion d’une enveloppe limitée sont présentés dans notre guide sur la gestion de bankroll.
Une méthode de lecture prudente
Avant d’interpréter une mise Kelly, vérifiez les éléments du calcul plutôt que de vous concentrer uniquement sur le résultat :
- Identifiez la cote décimale et le règlement du pari, notamment les cas de remboursement.
- Écrivez votre probabilité sous forme décimale et demandez-vous sur quelles données elle repose.
- Calculez le seuil de rentabilité associé à la cote, en gardant à l’esprit que cela ne révèle pas la probabilité réelle.
- Regardez comment une estimation légèrement plus basse modifierait la mise Kelly.
- Comparez le résultat à un budget défini à l’avance, sans emprunter ni augmenter une mise pour récupérer une perte.
- Si vous utilisez Kelly, comprenez qu’une fraction plus petite réduit l’exposition, mais ne supprime ni l’incertitude ni le risque de perte.
Questions fréquentes
Que signifie le résultat de la formule de Kelly ?
Il indique une fraction de bankroll à engager dans le modèle, à partir d’une cote et d’une probabilité estimée. Il ne prédit pas l’issue du pari et ne garantit aucun gain.
Que faire si la formule donne un résultat nul ou négatif ?
Dans le modèle simple, cela signifie que Kelly ne suggère pas de mise positive pour cette estimation et cette cote. Revoir une probabilité ne se justifie que si de nouvelles informations permettent réellement de l’évaluer autrement.
Le Kelly fractionné élimine-t-il le risque de perte ?
Non. Miser une fraction du résultat Kelly réduit l’exposition calculée, mais ne protège pas contre une probabilité mal estimée ni contre une série de pertes.
Quelle différence entre une mise fixe et une mise Kelly ?
Une mise fixe conserve le même montant, tandis qu’une mise Kelly varie selon la bankroll, la cote et la probabilité estimée. La première est plus simple à budgéter, la seconde dépend davantage de la qualité des estimations.
La formule fonctionne-t-elle pour tous les types de paris ?
La formule présentée concerne un pari simple avec deux issues, une victoire qui rapporte la cote et une défaite qui fait perdre la mise. Les remboursements ou plusieurs issues possibles demandent une formule adaptée aux différents règlements.
